defenisi himpunan dan contoh soal latihan soal

A. Definisi Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.

Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan.

Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang  belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainya.

Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang.

Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.

Jenis-jenis Himpunan

1.      Himpunan Kosong

Definisi :  Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.

2.      Himpunan Bagian

Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

3.      Himpunan sama

Definisi : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.

Notasi : A = B  <==>  A ⊆ B dan B ⊆ A 

Tiga hal yang perlu di catat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan :

1)      Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting.

Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}

2)      Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.

Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1}

3)      Untuk tiga buah himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B dan C = C

(b) Jika A = B, maka B = A

(c) Jika A = B dan B = C, maka A = C

B. Manfaat belajar himpunan dalam kehidupan sehari-sehari

Membahas mengenai manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari, mengingatkan kita yang mungkin sebagai guru atau orang tua saat ada pertanyaan yang terlontar dari anak dengan wajah polosnya. “Apa manfaat himpunan dalam kehidupan kita sehari-hari?” Mereka belum tahu betapa pentingnya himpunan yang merupakan dasar dari segala ilmu Matematika.

Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:

1.      Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.

2.      Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.

4.      Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.

5.      Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.

6.      Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.

7.      Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

C. Contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari

Contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari biasanya mengenai survey tentang sesuatu, mulai dari yang sederhana hingga ke yang agak luas cakupannya.

Contoh-contohnya adalah sebagai berikut:

-   survei yang di lakukan PT (ABC) mengenai kebiasaan mahasiswa dalam mengakses informasi sbb :

400 orang mengakses informasi melalui koran

560 orang mengakses informasi melalui TV

340 orang mengakses informasi melalui internet

205 orang mengakses informasi melalui koran dan TV

175 orang mengakses informasi melalui TV dan Internet

160 orang mengakses informasi melalui koran dan internet

155 orang mengakses informasi melalui ketiganya

Pertanyaan:

1.  jika total mahasiswa perguruan tinggi 1100 berapa orang yang tidak mengakses dari ketiga nya?

2.  berapa orang yang tidak mengakses informasi melalui 2 media saja?

3.  berapa orang yang mengakses informasi melalui satu media saja?

Jawab :

Total mahasiswa n(S)= 1100

Koran n(K) = 400

TV n(TV) = 560

Internet n(I) = 340

(K ∩ TV) = 205

(K ∩ I) = 160

(TV ∩ I) = 175

(K ∩ TV ∩ I) = 155

Cara penyelesaian yang mudah bisa dilakukan dengan menggambar diagram venn terlebih dulu.

Buat diagram ven, berupa persegi untuk himpunan semesta S.

Di dalamnya buat tiga lingkaran yang saling beririsan dan beri nama K, TV dan I.

Pada irisan ketiga lingkaran K ∩ TV ∩ I, tulis 155

Pada irisan K ∩ TV dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 205 - 155 = 50

Pada irisan K ∩ I dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 160 - 155 = 5

Pada irisan TV ∩ I dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 175 - 155 = 20

Pada lingkaran K dikurangi irisan, tulis 400 - (50 + 5 + 155) = 150

Pada lingkaran TV dikurangi irisan, tulis 560 - (50 + 20 + 155) = 335

Pada lingkaran I dikurangi irisan, tulis 340 - (5 + 20 + 155) = 150

Pada bagian luar lingkaran, tulis 1100 - (150 + 335 + 160 + 50 + 20 + 5 + 155) = 225

Dari penyelesaian diatas, jawaban dapat disimpulkan seperti di bawah ini :

a.       Yang tidak mengakses ketiga media --> 225 orang

cara : 1100 - (150 + 335 + 160 + 50 + 20 + 5 + 155) = 225

b.      Yang mengakses melalui dua media --> 75 orang

cara : 50 + 20 + 5 = 75

c.       Yang mengakses melalui satu media --> 645 orang

cara : 150 + 335 + 160 = 645

-       Syarat lulus bagi peserta ujian adalah nilai Bahasa Inggris dan Matematika harus lebih dari 4,5. Dari 50 siswa peserta ujian terdapat 15 siswa yang nilai Bahasa Inggrisnya kurang dari 4,5. Dan terdapat 20 siswa yang mendapatkan nilai Matematika dan Bahasa Inggrisnya lebih dari 4,5.Jika banyaknya siswa yang tidak lulus ada 8 orang, tentukan:

Untuk menjawab permasalahan diatas dapat dilakukan dengan cara berikut ini:

Data yang diketahui:

- Banyaknya siswa (S) = 50 = n(S)

-Tidak lulus bahasa inggris (TI) = 15 = n(TI)

-Tidak lulus bahasa inggris dan matenatika = 8 = n(TI∩TM)

-Siswa yang lulus = 20 = n(TI U TM)’

Yang ditanya :

-          Tidak lulus Bahasa Inggris dan Matematika

Jawab:

d n(TI U TM) = n(S) - n(TI U TM)’

= 50 – 8

= 7

               n(TI∩TM) = n(TI) + n(TM) - n(TI U TM)

                             8 = 15 + n(TM) – 30

                            38 = 15 + n(TM)

                      n(TM) = 23

n(TM) - n(TI∩TM) = 23 – 8

            n(TM) saja  = 15

n(TI) - n(TI∩TM) = 15 – 8

            n(TI) saja  = 7

n(TI U TM)’ + n(TI) = 20 + 7

                n(TM)'      =  27

n(TI U TM)’ + n(TM) = 20 + 15

                  n(TI)'        =  35

Keterangan: - Tidak lulus bahasa inggris = TI

-   Tidak lulus matematika = TM

 

2.    Contoh Soal Himpunan

1.    Untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika :

U     : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A     : {2, 3, 5, 7}

B     : {1, 3, 4, 7, 8}

a.    A - B

b.    B - A

c.    A ᴖ B

d.   A ᴗ B

e.    A ᴖ B’

f.     B ᴖ A’

Pembahasan:

a.    A – B     = {2, 5}

b.    B – A     = {1, 4, 8}

c.    A ᴖ B     = {3, 7}

d.   A ᴗ B     = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}

e.    A ᴖ B’    = {2, 5}

f.     B ᴖ A’    = {1, 4, 8}

2.    Andaikan    U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

A= {1, 2, 3, 5, 6}

B= {3, 4, 6, 7, 13}

C= {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13}

Maka:

a.    A ᴖ B

b.    B ᴖ C

c.    C ᴖ A

d.   A ᴗ B

e.    A ᴗ B ᴗ C

f.     A ᴖ B ᴖ C

g.    (A ᴗ B) ᴖ C

h.    A’ ᴖ B’ ᴖ C

i.      A ᴖ B ᴖ C’

Pembahasan:

a.    A ᴖ B                 = {3, 6}

b.    B ᴖ C                 = {6, 7, 13}

c.    C ᴖ A                 = {5, 6}

d.   A ᴗ B                 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13}

e.    A ᴗ B ᴗ C          = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13}

f.     A ᴖ B ᴖ C          = {6}

g.    (A ᴗ B) ᴖ C        = {5, 6, 7, 13}

h.    A’ ᴖ B’ ᴖ C        = {8, 9, 10}

i.      A ᴖ B ᴖ C’         = {3}

3.    Yang menunjukkan himpunan universal U serta himpunan-himpunan bagian A dan B untuk :

U= {x ; 3 < x < 14}

A= {6, 7, 9, 10, 13}

B= {4, 5, 11}

Maka:

a.    A – B

b.    B – A

c.    A ᴖ B

d.   A ᴖ B’

e.    A ᴗ B

f.     A ᴗ B’

Pembahasan:

U = {x ; 3 < x < 14} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

a.         A – B   = {6, 7, 9, 10, 13} = A

b.         B – A   = {4, 5, 11} = B

c.         A ᴖ B   = {} = Ø, disjoin

d.        A ᴖ B’ = {6, 7, 9, 10, 13} = A – U = A

e.         A ᴗ B   = {4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13}

f.          A ᴗ B’ = {6, 7, 8, 9, 10, 12, 13}

4.    Berdasarkan hukum-hukum matematika dalam pengoperasian himpunan sebagaimana tercantum pada daftar di muka, sederhanakanlah pernyataan-pernyataan himpunan berikut :

a.    B ᴗ (B ᴗ A)

b.    A ᴗ (A ᴖ B)

Pembahasan:

a.    B ᴗ (B ᴗ A) = (B ᴗ B) ᴗ A = B ᴗ A

b.    A ᴗ (A ᴖ B) = (A ᴗ A) ᴖ (A ᴗ B)= U ᴖ (A ᴗ B) = A ᴗ B

5.    Apabila U adalah sebuah himpunan universal, tentukan mana yang benar dan salah di antara pernyataan-penyataan di bawah ini :

a.    A ᴗ A’    = U

b.    A ᴖ A’    = A

c.    B ᴖ U     = B

d.   B ᴗ U     = U

e.    C ᴗ Ø     = C

f.     C ᴖ C     = Ø

g.    D ᴖ Ø     = Ø

h.    D ᴖ D     = D

i.      (B’)        = U

j.      (A – C) ᴗ C        = A – C

k.    B ᴖ (B – D)        = BD

l.      (A ᴗ D) – D       = A – D

Pembahasan :

a.    Benar

b.    Salah, seharusnya: A ᴖ A’ = Ø

c.    Benar

d.   Benar

e.    Benar

f.     Salah, seharusnya: C ᴖ C = C

g.    Benar

h.    Benar

i.      Salah, seharusnya: ( B’ ) = B

j.      Salah, seharusnya: (A - C) ᴗ C = A ᴗ C

k.    Salah, seharusnya: B ᴖ (B - D) = B - D

l.      Benar

SOAL PILIHAN GANDA (1-10) :

1. Diberikan P = {1,2,3,9,12,13}. Himpunan kelipatan 3 yang terdapat di P adalah...

a. {9}

b. {3,9}

c. {3,9,12}

d. {3,6,9,12}

2. Diberikan {15,4,7,6,2}n{2,4,6,8} = {4,x,6}, maka x adalah... ( n dibaca irisan)

a. 2

b. 4

c. 7

d. 8

3. Jika A = {0,1} maka n(A) =...

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

4. Jika K = {a,b,c} dan R = {1,2,3,4} maka n(R) - n(K) + 2 =...

a. a

b. 3

c. 5

d. 7

5. Manakan himpunan berikut yang sama dengan himpunan {1,2,3}?

a. {6}

b. {2,1,3}

c. {2,3,6}

d. {4,5,6}

6. Banyaknya himpunan bagian dari {1,2} adalah...

a. 0

b. 1

c. 2

d. 4

7. Banyaknya himpunan bagian dari {a,b,c} adalah...

a. 3

b. 6

c. 8

d. 9

8. Huruf-huruf dari kata "MAKANAN" dapat membentuk suatu himpunan dengan banyak anggota...

a. 7

b. 6

c. 5

d. 4

9. Diberikan Q = {x|x >= 5, x anggota bilangan asli} dan P = {4,5,6,8}, maka P irisan Q = ...

a. {5}

b. {6,8}

c. {5,6,8}

d. {4,5,6,8}

10. Jika L = {p,q,r}, M = {q,r,s}, dan N = {r,s,t} maka L irisan M irisan N =...

a. {r}

b. {p}

c. {q,r}

d. {p,s}

SOAL  ISIAN (11-12) :

11. Dari 42 kambing yang ada di kandang milik pak Arman, 30 kambing menyukai rumput gajah, dan 28 ekor kambing menyukai rumput teki. apabila ada 4 ekor kambing yang tidak menyukai kedua rumput tersebut, berapa ekor kambing yang menyukai rumput gajah dan rumput teki?

12. Siswa kelas 7 SMP Tunas Mekar adalah 45. tiap-tiap siswa memilih dua jenis pelajaran yang mereka sukai. diketahui ada 27 siswa yang menyukai pelajaran Matematika dan 26 siswa menyukai pelajaran Bahasa Inggris. Sementara siswa yang tidak menyukai kedua pelajaran tersebut ada 5 orang. Tentukanlah banyaknya siswa yang menyukai pelajaran bahasa inggris dan matematika serta gambarlah diagram venn-nya.